جواب کاردرکلاس صفحه 53 حسابان دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 53 حسابان دوازدهم سلام! این تمرین بر روی محاسبه **حدهای نامتناهی (Infinite Limits)** در نزدیکی مجانب‌های عمودی و همچنین توابع شامل **جزء صحیح** تمرکز دارد. 🚀 --- ### الف) $\lim_{x \to -2^+} \frac{1 - x}{x + 2}$ این یک حد کسری است که با جایگذاری $x = -2$، به حالت $\frac{3}{0}$ می‌رسد، پس حد آن نامتناهی است. باید علامت مخرج را تعیین کنیم. #### 1. بررسی صورت (Numerator) $$\lim_{x \to -2^+} (1 - x) = 1 - (-2) = 3$$ #### 2. بررسی مخرج (Denominator) ما در حال نزدیک شدن به $-2$ از سمت **راست** هستیم. یعنی $x$ کمی از $-2$ **بزرگ‌تر** است (مثلاً $x = -1.99$). $$x > -2 \implies x + 2 > 0$$ $$\lim_{x \to -2^+} (x + 2) = 0^+$$ (یک عدد بسیار کوچک مثبت) #### 3. محاسبه حد $$\lim_{x \to -2^+} \frac{1 - x}{x + 2} = \frac{3}{0^+} = +\infty$$ **جواب نهایی (الف):** $\mathbf{+\infty}$ --- ### ب) $\lim_{x \to 2^-} \frac{[x] - 2}{x - 2}$ این حد شامل تابع **جزء صحیح** ([x]) است. ابتدا باید مقدار [x] را در همسایگی چپ $x=2$ تعیین کنیم. #### 1. بررسی جزء صحیح ([x]) ما در حال نزدیک شدن به 2 از سمت **چپ** هستیم. یعنی $x$ کمی از 2 **کوچکتر** است (مثلاً $x = 1.99$). $$x < 2 \implies [x] = 1$$ #### 2. ساده‌سازی کسر $$\lim_{x \to 2^-} \frac{[x] - 2}{x - 2} = \lim_{x \to 2^-} \frac{1 - 2}{x - 2} = \lim_{x \to 2^-} \frac{-1}{x - 2}$$ #### 3. بررسی مخرج و محاسبه حد در همسایگی چپ $x=2$، مخرج $x - 2$ یک عدد بسیار کوچک و **منفی** است: $$x < 2 \implies x - 2 < 0$$ $$\lim_{x \to 2^-} (x - 2) = 0^-$$ (یک عدد بسیار کوچک منفی) $$\lim_{x \to 2^-} \frac{-1}{x - 2} = \frac{-1}{0^-} = +\infty$$ (منفی تقسیم بر منفی، مثبت است) **جواب نهایی (ب):** $\mathbf{+\infty}$ --- ### پ) $\lim_{x \to 1^+} \frac{x^2 - 1}{(x-1)^2}$ این حد در ابتدا به فرم $\frac{0}{0}$ است، پس نیاز به ساده‌سازی و رفع ابهام دارد. #### 1. ساده‌سازی صورت (اتحاد مزدوج) $$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$$ #### 2. ساده‌سازی کسر $$\lim_{x \to 1^+} \frac{(x - 1)(x + 1)}{(x - 1)^2} = \lim_{x \to 1^+} \frac{x + 1}{x - 1}$$ حالا با جایگذاری $x = 1$ به حالت $\frac{2}{0}$ می‌رسد، پس حد نامتناهی است. #### 3. بررسی مخرج و محاسبه حد ما در حال نزدیک شدن به 1 از سمت **راست** هستیم. یعنی $x$ کمی از 1 **بزرگ‌تر** است (مثلاً $x = 1.01$). $$x > 1 \implies x - 1 > 0$$ $$\lim_{x \to 1^+} (x - 1) = 0^+$$ (یک عدد بسیار کوچک مثبت) $$\lim_{x \to 1^+} \frac{x + 1}{x - 1} = \frac{1 + 1}{0^+} = \frac{2}{0^+} = +\infty$$ **جواب نهایی (پ):** $\mathbf{+\infty}$